2023年度/1AHA003100

【金2、金3】数学要論B <後期>

高等学校までに学んだ極限の概念は、直感的でわかりやすいが、より深い議論を行うのに適さない。この講義ではまず極限の厳密な定義を行い、その定義に基づいて種々の数列・級数を取り扱う。その後に、実数の連続性公理に基づいて実数体の諸性質を明らかにする。後半では関数の連続性及び関数列の収束の諸相について講義する。これらの主題は今後大学で学ぶ解析学の基礎であるばかりでなく、すべての現代数学の基礎となる。

担当教員氏名

阿部 健

科目ナンバリング

AHAMAT21003-J1 (公大) / SAFDM2101 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

1年 (公大) / 1年 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

4単位 (公大) / 4単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

イプシロン‐デルタ論法に基づく極限の取り扱いができるようになること。イプシロン‐デルタ論法を自分の思考法として自然なものになるまで徹底的に身に付けること。また極限の厳密な定義に基づいて様々な数列の収束・発散を判定できるようになること。実数の連続性公理に基づいて実数列がいつ収束するかの判定ができるようになること。連続関数と一様連続関数の違いを理解し、判別できるようになること。また、関数列の各点収束と一様収束の違いを理解し、判別できるようになること。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	数列の極限の定義・イプシロン-Ｎ論法	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第2回	イプシロン‐Ｎ論法の練習	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第3回	厳密な定義に基づく極限の性質（順序、はさみうちの原理）	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第4回	厳密な定義に基づく極限の性質（四則演算と極限、収束列の性質）	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第5回	上限・下限、実数の連続性公理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第6回	上界・下界、最大化列・最小化列、上極限・下極限、集積値	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第7回	実数の連続性公理からの帰結（１）（有界単調収束定理）	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第8回	実数の連続性公理からの帰結（２）（区間縮小法の原理）	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第9回	実数の連続性公理からの帰結（３）（Bolzano-Weierstrass の定理）	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第10回	実数の完備性・コーシー列・コーシーの収束判定法	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第11回	Dedekind の切断	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第12回	級数の概念とその収束の定義	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第13回	正項級数の収束判定条件	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第14回	オイラー・マクローリンの積分判定法とその応用	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第15回	絶対収束と条件収束・ライプニッツの定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第16回	ディリクレの判定法・アーベルの不等式	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第17回	関数の極限の定義とその性質・イプシロン‐デルタ論法	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第18回	連続関数・中間値の定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第19回	連続関数の最大値・最小値存在定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第20回	点列コンパクト集合・閉包・触点	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第21回	関数の一様連続性とその帰結	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第22回	一様連続関数の例・ハイネの定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第23回	関数列の収束・各点収束と一様収束	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第24回	一様収束とその帰結・一様コーシー条件	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第25回	一様収束に関する例題・ディニの定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第26回	項別微分定理・項別積分定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第27回	関数項級数の概念	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第28回	Weierstrass の優級数定理	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第29回	優級数定理の応用・例題	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第30回	2重級数・無限積	この回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く
第31回	期末試験	これまでの回に配布されたレジュメを読み、演習問題を解く

成績評価方法

成績評価は、期末試験８０％、毎週提出を要求される宿題レポートの提出状況２０％の割合で評価する。イプシロンデルタ論法を正しく使えるようになることを合格（C以上）の最低基準とする。厳密な定義に基づいた数列の収束・発散の判定ができるようになる、連続関数と一様連続関数の違いを理解し判別できるようになる、関数列の各点収束と一様収束の違いを判別できるようになる、などの到達目標の達成度で成績評価を行う。

履修上の注意

学習内容を良く理解し身に付けるためには、授業後に2時間程度復習することが望ましい。内容が豊富なので、毎回の授業には必ず出席し板書をノートにとることが必須である。

教科書

杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会 2） https://elib.maruzen.co.jp/elib/html/BookDetail/Id/3000046843?5

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参考文献

黒田成俊『微分積分』（共立出版） Terence Tao ``Analysis Ⅰ” (TRIM 37, Hindustan Book Agency)

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