2023年度/1BHA010100 (公大)

【火3】幾何学特論B <後期>

大学院で学ぶ数学の三大分野の一つである幾何学における重要な対象の一つである対称空間論について講義する。この講義では，まずは集合としての対称空間から出発し，その後に多様体としての対称空間あるいはリーマン多様体としての対称空間を紹介する。対称空間論の基本的な内容および様々な具体例，さらにそれらとリー群あるいはリー代数との関係を理解することを目標とする。

担当教員氏名

田丸 博士

科目ナンバリング

BHAMAT52010-J1 (公大)

授業管轄部署

理学研究科

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

1年 (公大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (公大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

以下の項目を身に付けることを目標とする。 １．集合としての対称空間の定義，様々な具体例，および群と部分群の成す対称対との対応を理解し，説明することができる。 ２．リー群およびリー代数の定義，様々な具体例，および基本的性質について理解し，説明することができる。 ３．多様体としての対称空間の定義，様々な具体例，およびリー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対との対応を理解し，説明することができる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	（第１回～第５回）集合としての対称空間 ・群作用と等質な集合 ・集合としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・群と部分群の成す対称対	（第１回～第５回）群作用，等質な集合，集合としての対称空間，群と部分群の成す対称対といった諸概念を理解し，具体例を考える。講義には登場していない新しい例を考える訓練は有益である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第2回	（第１回～第５回）集合としての対称空間 ・群作用と等質な集合 ・集合としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・群と部分群の成す対称対	（第１回～第５回）群作用，等質な集合，集合としての対称空間，群と部分群の成す対称対といった諸概念を理解し，具体例を考える。講義には登場していない新しい例を考える訓練は有益である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第3回	（第１回～第５回）集合としての対称空間 ・群作用と等質な集合 ・集合としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・群と部分群の成す対称対	（第１回～第５回）群作用，等質な集合，集合としての対称空間，群と部分群の成す対称対といった諸概念を理解し，具体例を考える。講義には登場していない新しい例を考える訓練は有益である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第4回	（第１回～第５回）集合としての対称空間 ・群作用と等質な集合 ・集合としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・群と部分群の成す対称対	（第１回～第５回）群作用，等質な集合，集合としての対称空間，群と部分群の成す対称対といった諸概念を理解し，具体例を考える。講義には登場していない新しい例を考える訓練は有益である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第5回	（第１回～第５回）集合としての対称空間 ・群作用と等質な集合 ・集合としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・群と部分群の成す対称対	（第１回～第５回）群作用，等質な集合，集合としての対称空間，群と部分群の成す対称対といった諸概念を理解し，具体例を考える。講義には登場していない新しい例を考える訓練は有益である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第6回	（第6回～第10回）リー群とリー代数 ・リー群の定義，例，性質 ・リー代数の定義，例，性質 ・リー群とリー代数の対応 ・リー代数の構造理論	（第6回～第10回）リー群やリー代数の定義および簡単な例を調べる。特に行列で表される例は基本的である。半単純リー群に限定せず，可解や冪零などの具体例も考えると良い。必要に応じて多様体論を復習する。リー代数の構造理論には様々な概念が登場するが，それらを簡単なリー代数に対して具体的に記述する練習は重要である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第7回	（第6回～第10回）リー群とリー代数 ・リー群の定義，例，性質 ・リー代数の定義，例，性質 ・リー群とリー代数の対応 ・リー代数の構造理論	（第6回～第10回）リー群やリー代数の定義および簡単な例を調べる。特に行列で表される例は基本的である。半単純リー群に限定せず，可解や冪零などの具体例も考えると良い。必要に応じて多様体論を復習する。リー代数の構造理論には様々な概念が登場するが，それらを簡単なリー代数に対して具体的に記述する練習は重要である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第8回	（第6回～第10回）リー群とリー代数 ・リー群の定義，例，性質 ・リー代数の定義，例，性質 ・リー群とリー代数の対応 ・リー代数の構造理論	（第6回～第10回）リー群やリー代数の定義および簡単な例を調べる。特に行列で表される例は基本的である。半単純リー群に限定せず，可解や冪零などの具体例も考えると良い。必要に応じて多様体論を復習する。リー代数の構造理論には様々な概念が登場するが，それらを簡単なリー代数に対して具体的に記述する練習は重要である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第9回	（第6回～第10回）リー群とリー代数 ・リー群の定義，例，性質 ・リー代数の定義，例，性質 ・リー群とリー代数の対応 ・リー代数の構造理論	（第6回～第10回）リー群やリー代数の定義および簡単な例を調べる。特に行列で表される例は基本的である。半単純リー群に限定せず，可解や冪零などの具体例も考えると良い。必要に応じて多様体論を復習する。リー代数の構造理論には様々な概念が登場するが，それらを簡単なリー代数に対して具体的に記述する練習は重要である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第10回	（第6回～第10回）リー群とリー代数 ・リー群の定義，例，性質 ・リー代数の定義，例，性質 ・リー群とリー代数の対応 ・リー代数の構造理論	（第6回～第10回）リー群やリー代数の定義および簡単な例を調べる。特に行列で表される例は基本的である。半単純リー群に限定せず，可解や冪零などの具体例も考えると良い。必要に応じて多様体論を復習する。リー代数の構造理論には様々な概念が登場するが，それらを簡単なリー代数に対して具体的に記述する練習は重要である。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第11回	（第11回～第15回）多様体としての対称空間 ・なめらかな群作用と等質多様体 ・多様体としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・リー群とリー部分群の成す対称対 ・リー代数と部分代数の成す対称対	（第11回～第15回）なめらかな作用，等質多様体，多様体としての対称空間，リー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対，といった諸概念を理解し，具体例を考える。特に直交群を用いて表される球面や射影空間・グラスマン等は基本的な例であるが，それ以外の例も考えると良い。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第12回	（第11回～第15回）多様体としての対称空間 ・なめらかな群作用と等質多様体 ・多様体としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・リー群とリー部分群の成す対称対 ・リー代数と部分代数の成す対称対	（第11回～第15回）なめらかな作用，等質多様体，多様体としての対称空間，リー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対，といった諸概念を理解し，具体例を考える。特に直交群を用いて表される球面や射影空間・グラスマン等は基本的な例であるが，それ以外の例も考えると良い。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第13回	（第11回～第15回）多様体としての対称空間 ・なめらかな群作用と等質多様体 ・多様体としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・リー群とリー部分群の成す対称対 ・リー代数と部分代数の成す対称対	（第11回～第15回）なめらかな作用，等質多様体，多様体としての対称空間，リー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対，といった諸概念を理解し，具体例を考える。特に直交群を用いて表される球面や射影空間・グラスマン等は基本的な例であるが，それ以外の例も考えると良い。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第14回	（第11回～第15回）多様体としての対称空間 ・なめらかな群作用と等質多様体 ・多様体としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・リー群とリー部分群の成す対称対 ・リー代数と部分代数の成す対称対	（第11回～第15回）なめらかな作用，等質多様体，多様体としての対称空間，リー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対，といった諸概念を理解し，具体例を考える。特に直交群を用いて表される球面や射影空間・グラスマン等は基本的な例であるが，それ以外の例も考えると良い。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第15回	（第11回～第15回）多様体としての対称空間 ・なめらかな群作用と等質多様体 ・多様体としての対称空間 ・対称空間の具体例 ・リー群とリー部分群の成す対称対 ・リー代数と部分代数の成す対称対	（第11回～第15回）なめらかな作用，等質多様体，多様体としての対称空間，リー群とリー部分群の成す対称対，リー代数と部分代数の成す対称対，といった諸概念を理解し，具体例を考える。特に直交群を用いて表される球面や射影空間・グラスマン等は基本的な例であるが，それ以外の例も考えると良い。講義後ここまでの範囲で課すレポート問題を解く。
第16回	期末試験	今までの内容を復習しておく。

成績評価方法

授業目標の１～３の項目に関する達成度を総合的に評価する。成績は，定期試験５０％，小テスト・レポート５０％の割合で評価する。C（合格）となるためには１～３の全ての項目で基本的な問題が正しく解けることが必要である。

履修上の注意

定義や定理が出てきたときには，それに当てはまる（あるいは微妙に当てはまらない）具体例を常に考えることが重要である。​​​​​​​​

教科書

特に指定しない。

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参考文献

講義時に指定する。また参考資料（プリント）を講義時に配付する。

オフィスアワー

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教員への連絡方法（メールアドレス等）

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