2023年度/1GGA012201 (公大)

【火1、金2】線形代数2B /必:工<航空・化工>N <後期>

抽象ベクトル空間における様々な概念と行列の固有値・固有ベクトル・対角化について基礎的内容を教授する。 主に以下の項目の講義を行う。 １．１次独立と１次従属　２．基底と次元　３．部分空間　４．１次写像とその像・核　５．計量ベクトル空間と正規直交基底　６．固有値・固有ベクトルと行列の対角化

担当教員氏名

川添 充、吉冨 賢太郎、齋藤 洋介

科目ナンバリング

XXXMAT1L012-J1 (公大)

授業管轄部署

国際基幹教育機構（学部）

開講キャンパス

中百舌鳥

開講区分

週間授業

配当年次

1年 (公大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

4単位 (公大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

ベクトル空間についての様々な概念や各種計算の背後にある数学的原理や理論に習熟し、ベクトル空間や１次写像に関する種々の計算や対角化の手法を習得することを目標とする。具体的には、以下の項目ができることを目標とする。 1. ベクトル空間についての種々の概念の定義を正しく記述できる。 2. 1次独立性の判定ができる。 3. 基本的なベクトル空間や部分空間の基底と次元を求めることができる。 4.１次写像の表現行列を求めることができる。 5. 内積の定義と基本的性質に基づいて内積を含んだ計算を行うことができる。 6. グラム・シュミットの直交化法を正しく適用して正規直交系をつくることができる。 7. 行列の固有値や固有値に対する固有空間の基底と次元を求めることができる。 8. 行列の対角化可能性を判定でき，対角化を実行できる。 9. 実対称行列の直交行列による対角化を実行できる。 10. ベクトル空間や1次写像に関する基礎的な命題の証明ができる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	抽象ベクトル空間の定義と例。	教科書5.1(p.115, 例5.1まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第2回	部分空間の定義と例.１次独立と１次従属．	教科書5.1-5.2をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第3回	部分空間, １次独立と１次従属に関する演習	教科書5.1-5.2をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第4回	基底と次元．演習．	教科書5.3(p.124, 例5.10まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第5回	部分空間の基底と次元.演習．	教科書5.3(p.124, 例題5.1から最後まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第6回	基底と次元に関する演習．	教科書5.3をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第7回	部分空間の和と共通部分，および部分空間の和に関する次元公式．演習．	教科書5.4(p.130, 例5.12まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第8回	部分空間の和に関する次元公式．小テスト	教科書5.4(p.130, 定義5.9から最後まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第9回	１次写像の定義と例.演習．	教科書6.1をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第10回	１次写像の像と核．演習．	教科書6.2(p.152, 命題6.8まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第11回	１次写像の像と核の基底と次元．演習．	教科書6.2(例題6.1) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第12回	１次写像の像と核に関する次元公式．演習．	教科書6.2(命題6.9, 定理6.10, 命題6.11) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第13回	抽象ベクトル空間の座標．演習．	教科書6.3(p.156, 問6.6まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第14回	１次写像の表現行列. 演習．	教科書6.3(定義6.6から定理6.15まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第15回	基底の変換行列. 演習．	教科書6.3(定義6.7から最後まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第16回	小テスト．ベクトル空間の内積と直交性. 正射影．	教科書7.1, 7.2をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第17回	正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法.演習．	教科書7.3をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第18回	グラム・シュミットの直交化法の演習．	教科書7.3をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第19回	直交補空間と正射影．演習．	教科書7.4をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第20回	内積と1次写像. 内積の応用(最小２乗法)．演習	教科書7.5,  7.6をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第21回	小テスト．対角化のイントロ．	教科書8.1をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第22回	行列の固有値と固有ベクトル．演習．	教科書8.2, 8.3をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第23回	固有空間. 演習．	教科書8.4(p.202, 問8.10まで)をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第24回	対角化可能性判定法．演習．	教科書8.4(p.202, 命題8.6から最後まで) をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第25回	対角化可能性判定と対角化の演習．	教科書8.4をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第26回	対角化の応用(人口問題, 連立微分方程式)．演習.	教科書8.5をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第27回	実対称行列の対角化.演習．	教科書8.6をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第28回	実対称行列の対角化の演習．	教科書8.6をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第29回	小テスト．実対称行列の対角化の応用(2次曲面の標準形)．演習.	教科書8.9をよく読み、授業中に指定した演習問題を解く
第30回	全体の復習.
第31回	試験.

成績評価方法

達成目標の達成度によって成績評価を行う。授業内演習・小テストなど40％、期末試験60％で評価する。Ｃ(合格)となるためには、到達目標の項目のうちの6割について、基礎的な問題を解くことができることが必要である(但し、計算上の軽微のミスは許す。計算問題については、数ベクトルについてできればよい)。

履修上の注意

とくになし。

教科書

石井・川添・高橋・山口著「理工系新課程　線形代数―基礎から応用まで［改訂版］」(培風館) 川添・山口・吉冨著「理工系新課程 線形代数演習―解き方の手順と例題解説」(培風館)

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参考文献

なし。

オフィスアワー

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