2023年度/3S01171000 (市大)

【水4】複素解析Ⅰ <前期>

複素数が登場したのは高次方程式の解法研究の過程においてである。変数の範囲を複素数にまで拡張した関数の微積分を論じるようになったのは、数学における必然的発展である。１９世紀にCauchy、Riemannらによって基礎が造られた複素関数論は近代数学における中心課題となった。複素関数論で学習する関数は、正則関数とよばれる複素変数に関して微分可能な関数である。それは複素変数のべき級数に展開可能な関数であり、そのような関数は物理的にも重要な意味を持っている。純粋数学的な発足の経緯にもかかわらず複素関数論は理工学において、理論面からも応用面からも大変有用であることが明らかとなった。線形常微分方程式の解の挙動の複雑さの理由も、複素変数の指数関数を考えることにより理解できるであろう。

担当教員氏名

小池 貴之

科目ナンバリング

SAANA5303 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

カリキュラムにより異なります。 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。学年指定なしの表記は、要覧等を確認してください。

単位数

2単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

正則関数及び有理型関数の基本的な諸定理を理解し、複素関数の理論的な取り扱いが身につくようにする。具体的には、以下の項目ができることを目標とする。 1. 複素数や複素関数を取り扱うための基本的な事柄を説明できるようになる。2. 正則関数および有理型関数に関する基礎的な理論を説明できるようになる。3. 複素関数の級数展開および留数が求められるようになる。4. 留数定理を応用して、実関数の定積分を計算できるようになる。5. 正則関数や有理型関数の具体的な取扱いと計算力が身につくようにする。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	複素数、複素平面	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第2回	複素数の演算の幾何的意味	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第3回	複素数と図形	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第4回	複素関数、初等関数	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第5回	超越的初等関数	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第6回	複素微分	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第7回	正則関数	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第8回	複素積分	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第9回	コーシー積分定理	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第10回	コーシー積分公式	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第11回	関数項級数、テイラー展開	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第12回	ローラン展開、孤立特異点	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第13回	留数定理	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第14回	実関数の積分への応用その１	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。
第15回	実関数の積分への応用その２	教科書・参考書の対応する部分を読み、該当する演習問題を解く。

事前・事後学習の内容

関連する教材を事前に見て内容をおおまかに確認してから授業を受けるようにする。また、学習内容を理解し身に着けるため授業後に復習を行うことが望ましい。特に演習問題を解くことが有効である。

成績評価方法

到達目標の達成度で成績評価を行う。定期試験(60%)、レポート課題(20%)、演習への取り組みなど(20%) を総合的に評価する。 具体的には、コーシーの積分定理およびコーシーの積分公式が理解できているか、留数の計算ができているか、一つの関数を具体的な環状領域においてローラン展開できているかを問う。 合格の最低基準は、コーシーの積分公式と留数計算を具体的に運用できることとする。

履修上の注意

予備知識としては、微分積分学（解析Ⅰ、Ⅱ）の基本的内容を想定している。 複素解析で扱う種々の例や現象・原理は、分野を超え様々な数学で重要となることが多い。この意味でも、真剣な受講は勿論のこと、前後に演習問題を解くなどの予習・復習を大切にしていただきたい。

教科書

なし.

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参考文献

今吉洋一「複素関数概説（サイエンス社）」、野口潤次郎「複素解析概論（裳華房）」、黒田正「複素関数概説（共立出版）」など。

オフィスアワー

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