2024年度/1BHA014200 (公大)

【水3】位相幾何学特論B <後期>

位相空間論の基礎について復習し、さらにホモロジー群やホモトピー群、CW複体といったより発展的な位相幾何学の知識を教授する。まずは集合と写像および距離空間について復習したのち、開集合系の概念に基づいて位相空間およびその間の連続写像の定義を行う。さらに、位相空間の間の写像の連続性という概念を軸にして、位相の生成、部分空間、直積空間、商空間といった最も基本的な位相の構成方法について述べたのち、実際に位相空間を扱う上で重要な分離公理、コンパクト性、連結性といった概念についての解説に入る。最後の5回ではホモロジー群やホモトピー群といった位相幾何学の基礎となる概念について、具体的な問題も交えつつ紹介していく。

担当教員氏名

蓮井 翔

科目ナンバリング

BHAMAT52014-J1 (公大)

授業管轄部署

理学研究科

開講キャンパス

中百舌鳥

開講区分

週間授業

配当年次

1年 (公大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (公大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

次の項目を身につけることを目標とする。 １．距離空間の概念、特に点列の収束や写像の連続性の定義を正確に述べられる。 ２．位相空間の概念を理解し、位相空間やその間の連続写像、および同相写像の定義や例について説明できる。 ３．位相空間の近傍系の概念を理解し、位相との関係について正確に説明できる。 ４．位相空間の基底・準基底の概念を理解し、基底・準基底を用いた位相の導入や連続性の判定ができる。 ５．部分空間、積空間、商空間の概念、特に写像の連続性に関わる基本性質を理解し適切に応用できる(実際に問題を解ける)。 6．分離公理を理解し、与えられた位相空間がどの分離公理を満たしているか判定できる。 7．コンパクト性を理解し、位相空間のコンパクト性を判定できる。 8．連結性を理解し、位相空間の連結性あるいは連結成分の個数を判定できる。また、それを位相空間が同相でないことの証明に応用できる。 9．コンパクト性と分離公理を利用した同相の証明ができる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	全体の導入、集合と写像についての復習	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第2回	距離空間についての復習	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第3回	位相空間の定義と例	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第4回	位相の生成、開基	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第5回	相対位相	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第6回	直積位相	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第7回	商位相	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第8回	分離公理	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第9回	コンパクト性	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第10回	連結性、連結成分	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第11回	同相でないことの証明について (ホモロジー群の導入)	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第12回	ホモトピー群の導入、ホモロジー群との比較	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第13回	位相空間を構成する諸手法 (写像錐、CW複体、ウェッジ和、スマッシュ積、他)	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第14回	ファイバー束	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。
第15回	発展的な話題の紹介	配布資料に前もって目を通し、講義後はレポート問題を解きつつ自分の理解度を確認する。

事前・事後学習の内容

講義資料を毎回事前に配布するので、一通り目を通しておくこと。また、その中で前提となっている事項に理解の不十分なものがあれば、自分で前もって調べて理解しておくこと。

成績評価方法

到達目標1～9の達成度で成績評価を行う。具体的な手段としては、毎回レポート課題を出すので、その点数によって評価する。各回のレポートは10点満点とし、点数が高いものから10回分の合計点数を成績とする。C (合格) となるためには、各回に紹介する基本的な例題の解法を理解し、その類題であるレポート問題を途中経過も含め概ね正しく解ける程度の能力が必要である。

履修上の注意

特にないが、もしこれまでの講義の中で位相空間などの概念に触れてこなかったのであれば、講義資料を事前によく読み、必要と思えばある程度自習しておくことを推奨する。

教科書

特に指定しない。毎回こちらで講義資料を用意しておく。

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参考文献

松阪和夫著「集合・位相入門」(岩波書店) 内田伏一著「位相入門」(裳華房) 加藤十吉著「位相幾何学」(裳華房)

オフィスアワー

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教員への連絡方法（メールアドレス等）

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その他

(関連科目)幾何学特論Ｂ, 解析学特論Ａ・Ｂ.