2024年度/1BHA031200 (公大)

【火4】確率過程特論 <前期>

大学院で学ぶ確率解析の分野で最も基本的で重要な役割を果たすブラウン運動とよばれる連続確率過程についてその基本性質を教授します. この講義ではブラウン運動に関する基本的な汎関数の積分の計算ができることを第一目標とします．そして確率解析の中で最も重要な伊藤の公式について学び, それが様々な場面で応用されることを学びます. またブラウン運動についての物理的, 直感的な理解だけでなく, ある程度数学的に厳密な考察を通して理論的にも深い理解ができるよう目指します．

担当教員氏名

數見 哲也

科目ナンバリング

BHAMAT52031-J1 (公大)

授業管轄部署

理学研究科

授業形態

講義

開講キャンパス

中百舌鳥

開講区分

週間授業

配当年次

1年 (公大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (公大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

以下に挙げる項目を達成目標とします. 1. ブラウン運動の性質を理解し, それらに関わる量を計算できる. 2. 確率積分を理解し, いくつかの場合に確率積分を計算で求めることができる. 3. 伊藤の公式を理解し, 簡単な例に対して計算することができる. 4. 確率微分方程式を理解し, 簡単な例に対して解を計算で求めることができる, あるいは解であることを確かめることができる.

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	イントロ, 線形代数の復習	対称行列とその対角化の復習
第2回	確率空間、条件付き期待値	特性関数
第3回	多次元の確率変数	多次元の確率変数の定義・性質の復習
第4回	ヒルベルト空間	ヒルベルト空間の定義・性質の復習
第5回	ガウス系と再生核ヒルベルト空間	ガウス系の定義・性質の復習
第6回	ブラウン運動（BM）の定義とその構成法	ブラウン運動の定義と構成法の復習
第7回	ランダムウオーク（RW）とブラウン運動	RWとBMの関係の復習
第8回	ブラウン運動の諸性質	ブラウン運動の諸性質の復習
第9回	ブラウン運動の汎関数	ブラウン運動の汎関数の基本計算の復習
第10回	確率積分の定義	確率積分の定義の復習
第11回	確率積分の諸性質	確率積分の諸性質の復習
第12回	伊藤過程と伊藤の公式	伊藤過程と伊藤の公式の復習
第13回	伊藤の公式の応用	伊藤の公式の応用例の復習
第14回	Feynman-Kac （FK）の公式	FKの公式の応用例の復習
第15回	確率微分方程式（SDE）	簡単なSDEの解法の復習

成績評価方法

上記の達成目標1～4の到達度を測る問題からなるレポートの提出で成績を評価します. C(合格)となるためには1～3(4を除く)のすべての項目でレポートに出した問題のうち基本的なものを解けることが必要です.

履修上の注意

講義の内容を必ず復習し理解した状態で次の講義に臨むようにして下さい. また定理などの証明のうち講義中に省略した部分は参考書を参照して各自で理解するようにして下さい.

教科書

なし

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参考文献

伊藤雄二著「確率論」（朝倉書店） 長井英生著「確率微分方程式」（共立出版） 舟木直久著「確率微分方程式」(岩波書店) Richard Durrett著 「Stochastic Calculus」(CRC Press) Bernt Oksendal著 「Stochastic Differential Equations」(Springer)

オフィスアワー

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教員への連絡方法（メールアドレス等）

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