2024年度/1BHA037100 (公大)

【集中講義】幾何構造論特別講義A （杉本） <前期>

非可換Hodge理論入門. コンパクトな多様体がケーラー構造を持つとき, そのコホモロジーには”Hodge構造”と呼ばれる空間の複素構造(+シンプレクティック構造)を反映した構造が定まる. コホモロジーとは空間を可換化した情報と考えることができ, 通常のHodge理論はそこへの幾何構造の反映をとらえる理論であると言える. 非可換Hodge理論は空間の非可換な情報において幾何構造の反映をとらえるものである. 本講義では空間の非可換な情報として基本群(位相空間から定まる非可換群)における非可換Hodge理論を考える. 特にHitchin, Corlette, Simpsonにより確立された平坦束とHiggs束の対応(非可換Hodge対応)について解説する.

担当教員氏名

糟谷 久矢、石田 裕昭

科目ナンバリング

BHAMAT52037-J1 (公大)

授業管轄部署

理学研究科

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

集中講義

配当年次

1年 (公大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (公大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

コンパクトケーラー多様体(あるいは佐々木多様体)上で平坦束とHiggs束の対応について解析的な部分はブラックボックスとして一通り理解し、それがどのような意味があるかを理解する。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	基礎事項(複素幾何, ベクトル束, 基本群) (1)	前回の復習をする
第2回	基礎事項(複素幾何, ベクトル束, 基本群) (2)	前回の復習をする
第3回	基礎事項(複素幾何, ベクトル束, 基本群) (3)	前回の復習をする
第4回	平坦束とHiggs束 (1)	前回の復習をする
第5回	平坦束とHiggs束 (2)	前回の復習をする
第6回	平坦束とHiggs束 (3)	前回の復習をする
第7回	非可換ホッジ対応(コンパクトリーマン面) (1)	前回の復習をする
第8回	非可換ホッジ対応(コンパクトリーマン面) (2)	前回の復習をする
第9回	非可換ホッジ対応(コンパクトリーマン面) (3)	前回の復習をする
第10回	非可換ホッジ対応(コンパクトケーラー多様体) (1)	前回の復習をする
第11回	非可換ホッジ対応(コンパクトケーラー多様体) (2)	前回の復習をする
第12回	非可換ホッジ対応(コンパクトケーラー多様体) (3)	前回の復習をする
第13回	非可換ホッジ対応の発展(非コンパクト, 佐々木多様体, variation of Hodgeなど) (1)	前回の復習をする
第14回	非可換ホッジ対応の発展(非コンパクト, 佐々木多様体, variation of Hodgeなど) (2)	前回の復習をする
第15回	非可換ホッジ対応の発展(非コンパクト, 佐々木多様体, variation of Hodgeなど)  (3)	前回の復習をする

成績評価方法

レポートなどで総合的に評価する.

履修上の注意

特になし.

教科書

特になし.

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参考文献

N. J. Hitchin, The self-duality equations on a Riemann surface, Proc. London Math. Soc. (3) 55 (1987), 59-126. Corlette, K.: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differ. Geom. 28, 361–382 (1988) Simpson, C.T.: Higgs bundles and local systems. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 75, 5–95 (1992) I. Biswas, H. Kasuya, Higgs bundles and flat connections over compact Sasakian manifolds, Commun. Math. Phys. 385 (1) (2021) 267–290.

オフィスアワー

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