2024年度/2B30386001 (府大)

【月2】関数方程式論I <前期>

常微分方程式の基礎理論を紹介する。具体的には、関数列の一様収束と連続性、ベクトルの１次独立性の判定法、行列の対角化可能性の判定法、解の存在性と一意性、線形微分方程式の解構造、行列理論を用いた解法などについて解説する。

担当教員氏名

松永 秀章

科目ナンバリング

CSMAT3320-J1 (府大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

中百舌鳥

開講区分

週間授業

配当年次

3年 (府大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (府大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

常微分方程式は1変数の未知関数とその導関数を含む方程式で、力学や電気回路のみならず、自然科学や工学の様々な分野で登場する。この授業では、前半で関数列の一様収束に関する命題、ベクトルの１次独立性や行列の対角化可能性の判定法などの理解と修得を、後半で常微分方程式の解の存在性と一意性、線形微分方程式の解構造、行列理論を用いた解法、級数解法などの理解と修得を目指す。具体的には、以下の能力を身につけることを目標とする。 1. ε－Ｎ論法やε－δ論法を用いて、数列や関数の極限に関する命題を証明できる。 2. ε－δ論法を用いて、関数の連続性や一様連続性に関する命題を証明できる。 3. ε－Ｎ論法やε－δ論法を用いて、関数列の一様収束に関する命題を証明できる。 4. ベクトルの１次独立性や行列の対角化可能性を理解し、判定できる。 5. 行列理論を用いて、定数係数連立線形微分方程式の一般解を求めることができる。

各授業回の説明

授業	授業内容
第1回	記号論理と否定命題について学ぶ。また対偶命題や背理法による証明を理解する。
第2回	ε－N論法を用いた数列の極限の定義を学ぶ。またε－N論法を用いて数列の極限に関する命題を証明する（基礎編）。
第3回	ε－N論法を用いて数列の極限に関する命題を証明する（応用編）。
第4回	ε－δ論法を用いた関数の極限の定義を学ぶ。またε－δ論法を用いて関数の極限に関する命題を証明する。
第5回	関数の連続性と一様連続性の定義を学ぶ。またε－δ論法を用いて関数の連続性や一様連続性に関する命題を証明する。
第6回	関数列の一様収束の定義を学ぶ。また連続関数列の一様収束極限に関する命題を証明する。
第7回	関数列の積分とlim の順序交換可能性、関数列の微分とlim の順序交換可能性について学ぶ。
第8回	１回から７回までの授業内容に関する中間試験、およびその解説を行う。
第9回	ピカールの逐次近似法を用いて常微分方程式の解の存在性を証明する。またグロンウォールの不等式を用いて常微分方程式の解の一意性を証明する。
第10回	行列の固有値、固有ベクトルの求め方と行列の対角化について復習する。
第11回	線形微分方程式の基本解行列の定義、基本解行列であるための必要十分条件に関する命題を証明する。
第12回	行列の理論を用いた定数係数2次元線形微分方程式の一般解の求め方について学ぶ。
第13回	行列の理論を用いた定数係数3次元線形微分方程式の一般解の求め方について学ぶ。
第14回	線形近似による非線形モデルの解の安定性解析について学ぶ。
第15回	これまでの学習の総まとめを行う。
第16回	期末試験を行う。

事前・事後学習の内容

授業時間だけの学習では、この授業の内容を理解し、その内容を定着させることはできません。授業中の課題はもちろんのこと、なるべく早めに復習を行って下さい。例題が豊富な教科書を採用していますので、例題を読んで問を解いていけば、自然に定理の内容も理解でき、自学自習できるようにもなっています。ただし、定期試験前に慌てて勉強しようとしても、内容が多すぎて「手遅れ」になることがほとんどですので、普段からの学習を心がけて下さい。

成績評価方法

授業目標の１～５の達成度で総合的に評価する。 １～５の基本的な問題ができれば、Ｃ（合格）とする。ただし、軽微な計算ミスを除く。 成績評価は、発表・レポート４０％、定期試験６０％で行う。詳細は第１回目の授業で説明する。

履修上の注意

授業開始前日までに受講登録を済ませること。

教科書

「イプシロン・デルタ論法 完全攻略」原惟行・松永秀章 著（共立出版）ISBN 978-4-320-11012-0 「常微分方程式入門 第3版」 原惟行・松永秀章 著（共立出版）ISBN 978-4-320-11335-0

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参考文献

田島一郎著「解析入門」岩波全書

オフィスアワー

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