2024年度/3S01179000 (市大)

【火2】微分幾何学Ⅱ <後期>

微分幾何学Iで学んだ可微分多様体の基礎的内容（定義、例、可微分関数、可微分写像、接ベクトル空間、はめ込みと埋め込み、等）を踏まえて、微分可能多様体の基礎理論における次の基本的かつ重要な項目は、「ベクトル場」と「微分形式」てある。「ベクトル場」と「微分形式」は、可微分多様体上の種々の数学を記述する最も基本的な道具である。

担当教員氏名

橋本 義規

科目ナンバリング

SAGEO6402 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

カリキュラムにより異なります。 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。学年指定なしの表記は、要覧等を確認してください。

単位数

2単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

微分幾何学Iで学んだ多様体の基礎的内容に続いて、微分可能多様体上の「ベクトル場」と「微分形式」の基礎理論を学ぶ。ベクトル場のイメージ、ベクトル場を積分曲線およびフローで扱うことを、抽象的な理論と具体例の両面から学ぶ。多様体上の微分形式がどのようなものか理解し、微分形式を用いて具体的な計算ができるようになる。その応用例についても学ぶ。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	可微分多様体の基本事項（復習と準備）	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第2回	可微分多様体上のベクトル場の定義といろいろな例	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第3回	可微分多様体上のベクトル場の積分曲線	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第4回	可微分多様体上のベクトル場のフロー	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第5回	行列から定義されるユークリッド空間上のベクトル場（具体例）	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第6回	可微分多様体上のベクトル場のブラケット積	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第7回	行列から定義されるベクトル場のブラケット積（具体例）	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第8回	可微分多様体上のベクトル場のブラケット積とフロー	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第9回	ベクトル空間上の交代形式と外積代数	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第10回	可微分多様体上の微分形式の定義	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第11回	可微分多様体上の微分形式に対する外微分作用素	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第12回	可微分写像による微分形式の引き戻し	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第13回	微分形式による可微分多様体の向きの定義	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第14回	可微分多様体上の微分形式の積分	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第15回	可微分多様体上の微分形式の積分の計算例と発展的話題	講義の内容を復習し、講義ノートで紹介する演習問題を解くことで理解を深める。
第16回	期末試験	講義の内容を総合的に復習する。

事前・事後学習の内容

微分幾何学Iにおいて、可微分多様体の定義、具体例、可微分関数、接ベクトル空間、可微分写像の定義、可微分写像の微分、など基礎事項を学習しておくこと。本授業の内容から進んで、事後学習の内容として、リーマン幾何学、リー群論、モース理論、接続の微分幾何、シンプレクティック幾何学などがある。

成績評価方法

到達目標の達成度で成績評価を行う。原則として学期末試験により、ベクトル場や微分形式の基礎事項が理解できているか評価する。原則として、学期末試験の成績が6割以上であることが合格のために必要である。到達目標にある事項を説明できることが合格最低基準である。

履修上の注意

予備知識としては、微分積分、線型代数、集合と位相、および、可微分多様体の（微分幾何学I）基本的内容を想定している。ベクトル解析も学んでいることが望ましい。

教科書

松本幸夫「多様体の基礎」東大出版会

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参考文献

授業内で適宜紹介する。

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