2025年度/1AHA007100

【水4】位相数学1 <前期>

近代自然科学の基礎である微分積分学は、極限の概念に基づいている。距離空間は、この極限の概念の本質を理解するための抽象的な枠組みであり、微分積分学に代表される古典数学からトポロジーや関数解析のような現代数学へと舵を切る転換点に位置している。この授業では、数学要論Aで学んだ集合と写像と写像の言語を用いて、数学要論Bで学んだε論法を距離空間の上で展開する。

担当教員氏名

橋本 義規

科目ナンバリング

AHAMAT31007-J1 (公大) / FLMAT2920-J1 (府大) / CSMAT2102-J1 (府大) / SAFDM3201 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

2年 (公大) / 2年 (府大) / 2年 (府大) / カリキュラムにより異なります。 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。学年指定なしの表記は、要覧等を確認してください。

単位数

2単位 (公大) / 2単位 (府大) / 2単位 (府大) / 2単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

次の項目を身につけることを目標とする。 １．ユークリッド空間における点列の収束の考え方が理解でき、具体例の計算や証明ができる。 ２．ユークリッド空間における関数の連続性の考え方が理解でき、具体例の計算や証明ができる。 ３．距離空間における点列の収束の考え方が理解でき、具体例の計算や証明ができる。 ４．距離空間における関数の連続性の考え方が理解でき、具体例の計算や証明ができる。 ５．位相数学IIで学ぶ抽象的な位相空間につながる、位相の基本的な考え方が理解でき、具体例の計算や証明ができる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	R^n の開集合、閉集合、境界	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第2回	R^n の開集合、閉集合、境界(続き)	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第3回	R^n の開集合、閉集合、境界(続き)	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第4回	R^n の点列の収束と開集合、閉集合	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第5回	R^n の部分集合の開集合、閉集合	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第6回	R^n の部分集合間の連続写像、開写像、同相写像	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第7回	R^n の部分集合の連結性	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第8回	R^n の部分集合のコンパクト性	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第9回	前半の復習	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第10回	距離空間の定義と例	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第11回	距離空間の位相と写像の連続性	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第12回	距離空間の位相と写像の連続性(続き)	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第13回	距離空間の位相と写像の連続性(続き)	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第14回	距離空間の完備性	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第15回	距離空間の完備性(続き)	教科書の対応するページをよく読んで、講義後に該当する演習問題を解く。
第16回	試験

事前・事後学習の内容

数学は単に講義を聞いているだけでは理解できない。自分で手を動かして計算したり、例を作ったりして、試行錯誤をする必要がある。本講義でも色々な例を挙げ、理解の役に立つよう演習問題を提供するが、それを自分で考えて解くことが、講義内容を納得するために必要である。そのために、特に事後学習が重要である。

成績評価方法

主に期末試験の成績を基に、距離空間の基礎的事項の理解を評価する。原則として期末試験の総合得点が6割以上のものを合格とするが、中間試験もしくはレポート課題の成績も考慮して総合的に評価する。距離空間の基礎的事項を理解できていることが合格（C以上）のための最低基準である。

履修上の注意

数学要論A、数学要論Bの内容を前提とする。

教科書

鎌田正良「集合と位相」近代科学社

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参考文献

各人の好みに合わせて自由に参考書を選んで良い。伝統的によく使われている本には、例えば ・松坂和夫「集合・位相入門」岩波書店 ・内田伏一「集合と位相」裳華房 などがある。最近出版された ・藤岡敦「手を動かしてまなぶ 集合と位相」裳華房 の方が取り組みやすいと感じる人もいるかもしれない。

オフィスアワー

- 外部公開シラバスのためデータがありません / Please use UNIPA syllabus -

教員への連絡方法（メールアドレス等）

- 外部公開シラバスのためデータがありません / Please use UNIPA syllabus -

その他

特になし。