2025年度/1AHA032100

【月2】位相幾何学1 <後期>

位相幾何学における基本的な不変量であるホモロジーへの入門を学ぶ。単体的複体と付随する鎖群、ホモロジー群を導入し、その基本的性質を調べる。また、特異ホモロジー論を導入し、両ホモロジーの同一性やホモトピー不変性を紹介する。

担当教員氏名

蓮井 翔

科目ナンバリング

AHAMAT32022-J1 (公大) / CSMAT3312-J1 (府大) / SAGEO6301 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

3年 (公大) / 3年 (府大) / カリキュラムにより異なります。 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。学年指定なしの表記は、要覧等を確認してください。

単位数

2単位 (公大) / 2単位 (府大) / 2単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

次の項目を身に付けることを目標とする。 １．単体的複体とその多面体の概念を理解する。 ２．単体的複体に付随する鎖群とホモロジー群の概念を理解し、具体例に対して計算できるようになる。 ３．ホモロジーのホモトピー不変性を理解し、位相幾何学的問題へと応用できるようになる。

各授業回の説明

授業	授業内容
第1回	単体：図形を表す「複体」の構成要素となる単体を導入する。
第2回	複体、単体の向き：図形を表す複体を導入する。また、複体の代数的取り扱いに必要となる単体の向きの概念を導入する。
第3回	鎖群：複体に付随する鎖群というアーベル群を導入する。
第4回	ホモロジー群：鎖群と境界準同型写像のなす系列に付随するホモロジー群を導入する。
第5回	ホモロジー群の具体例：いくつかの単純な例に対してホモロジー群の計算例を紹介する。
第6回	アーベル群の計算：一般的な複体に対するホモロジー群の計算に必要となるアーベル群の基本的性質を紹介する。
第7回	一般的な複体のホモロジー群の計算：アーベル群の計算法を用いて一般的な複体のアーベル群を計算する。
第8回	オイラー標数：アーベル群の階数の概念を導入し、オイラー標数を定義する。
第9回	鎖複体：鎖群と境界準同型のなす系列の代数的性質を抽象化した鎖複体の概念を導入する。
第10回	Mayer-Vietoris完全系列（１）：Mayer-Vietorisの定理の基礎となる代数的性質を紹介する。
第11回	Mayer-Vietoris完全系列（２）：複体のホモロジーに関するMayer-Vietorisの定理を紹介する。
第12回	Mayer-Vietoris完全系列（３）：複体の幾何と付随する鎖複体の代数的構造の対応を明らかにすることでMayer-Vietorisの証明を完成する。
第13回	特異ホモロジー：一般の位相空間に対する特異ホモロジーの概念を紹介する。
第14回	ホモロジー群の不変性と同一性：特異ホモロジーの持つホモトピー不変性を紹介する。また、単体的ホモロジーと特異ホモロジーの関係を紹介する。
第15回	ホモロジーの応用：ホモロジーの応用として、Brouwerの不動点定理と次元の不変性を紹介する。
第16回	期末試験

事前・事後学習の内容

事前配布される講義資料で予習をし、授業後には演習問題に取り組む。

成績評価方法

到達目標の1–3の達成度で成績評価を行う。 成績評価は、期末試験６０％、小テスト・レポート４０％の割合で評価する。 C（合格）となるためには1–3の全ての項目で基本的な問題が正しく解けることが必要である。

履修上の注意

この講義は「位相幾何学Ⅰ演習」と連動して進めるので同時に履修すること アーベル群の基本的な性質を理解して受講することが望ましい。

教科書

指定しない。（適宜講義資料を配布する。）

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参考文献

トポロジー，田村一郎，岩波書店（1972年，オンデマンド版2015年). 位相幾何入門，小宮克弘，裳華房（2001年）． トポロジー，小林貞一，近代科学社（1987年）． 位相幾何学 －ホモロジー論－，中岡稔，共立出版（1999年）．

オフィスアワー

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教員への連絡方法（メールアドレス等）

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