2025年度/1AHA036100

【火2】複素解析2 <後期>

留数定理などの単なる計算といった複素関数の微積分から一歩進んで，代数的あるいは幾何学的アプローチを含む論理的な関数論について学習する。

担当教員氏名

城崎 学

科目ナンバリング

AHAMAT32026-J1 (公大) / CSMAT3318-J1 (府大) / SAANA6303 (市大)

授業管轄部署

理学部

授業形態

講義

開講キャンパス

杉本

開講区分

週間授業

配当年次

3年 (公大) / 3年 (府大) / 3年 (市大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (公大) / 2単位 (府大) / 2単位 (市大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

本講義では、正則関数あるいは有理形関数などの複素関数のなす代数的および幾何学的な様々な性質を理解することを目標とする。 1. 偏角の原理、ルーシェの定理などを用いて対数微分の曲線に沿った積分や、正則関数の閉曲線内の零点の個数を計算できる。 2. 調和関数となるための必要十分条件が計算でき、共役調和関数を求めることができる。また、調和関数の境界値問題を解くことができる。 3. 正則写像の等角性を判別できる。 4. リーマンの写像定理などにより、ある領域から単位円板の上への１対１正則写像の存在の有無や、存在する際にはその具体的形を求めることができる。 5. 円の内側あるいは外側の領域あるいは半平面の間の、上への１対１正則写像の具体形を求めることができる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	Cauchy 型積分と最大絶対値の原理　「複素解析１」で学んだ複素関数論について復習しつつ、表記のことを学習する。	「複素解析１」での複素積分の定義について復習しておく。
第2回	Schwarz の補題とWeierstrass の二重級数定理   応用の多いSchwarz の補題と「複素解析」の復習である Weierstrass の二重級数定理を学ぶ。	一様収束について復習しておく。
第3回	解析接続　解析接続の手法の一つとして鏡像の原理を学習する。	解析接続について予習しておく。
第4回	調和関数（１）　ラプラスの微分方程式の解としての定義およびポワッソンの公式、平均値の定理について述べる。	ラプラス方程式について復習しておく。
第5回	調和関数（２）、孤立特異点の復習　円板におけるディリクレ問題ついて講義する。また、孤立特異点について復習する。	ラプラス方程式の境界値問題について「偏微分方程式」復習しておく。
第6回	孤立特異点・留数定理・零点および極の位数の復習	孤立特異点や零点・極の位数および留数定理について復習しておく。
第7回	偏角の原理、ルーシェの定理　 有理形関数 f に対して、f'/f の積分について考察する。	多価関数について復習しておく。
第8回	フルヴィッツの定理、演習	一様収束について、再び復習しておく。
第9回	部分分数展開	部分分数展開について復習しておく。
第10回	等角写像　等角写像を定義し、正則関数の等角性を吟味する	等角写像とはどのようなものか参考書等で予習しておく。
第11回	１次分数変換の諸性質　 非調和比を絡めた１次分数変換の諸性質を紹介する。	１次分数変換について復習しておく。
第12回	様々な１次分数変換　 単位円板から単位円板の上への１次分数変換、上半平面から単位円板の上への１次分数変換など。	Schwarz の補題を復習しておく。
第13回	正規族　 正規族と同程度連続性・一様有界性の関連を示したアスコリ・アルツェラの定理やモンテルの定理について話す。	同程度連続と一様収束や各点収束の違いについて予習しておく。
第14回	リーマンの写像定理　 リーマンの写像定理を証明し、いろいろな等角写像について触れる。	リーマンの写像定理の証明について、参考書等で予習しておく。
第15回	演習
第16回	試験

事前・事後学習の内容

まず、講義の予習として、「複素解析 １」のどの定理が必要かを見定め復習しておくこと。また、講義後は参考書の該当部分の演習問題にチャレンジすること。

成績評価方法

定期試験 (70%)、演習・レポート(30%)で成績評価をおこなう。 「到達目標」の１～５についての理解度を問う。 特に合格となるためには、「到達目標」における、1 の「偏角の原理やルーシェの定理を用いた計算」、5 の「与えられた条件を満たす正則写像」についてほぼ完ぺきに解くことができると共に、その他の項目２，３，４についても少なくとも一つは対応できる能力が必要である。

履修上の注意

小テストや課題の結果、ポータルにより呼出しを行う場合がある。 応じれば、加点する場合もあるが、何よりもそれにより、理解が深まることが大事である。 出席、あるいは、平常点が僅少の場合、期末テストの受験を断る場合もある。 授業開始前日までに受講登録を済ませること。

教科書

なし

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参考文献

野口潤次郎「複素解析概論」（裳華房） ISBN 9784785313142 、黒田正「複素関数概説」（共立出版） ISBN 9784320010499 、アールフォルス「複素解析」（現代数学社）ISBN 9784768701188 、岸正倫・藤本坦孝「複素関数論」（学術図書）ISBN 9784873611136 など。

オフィスアワー

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