2025年度/2A60057001 (府大)

【集中講義】線形代数演習 生命（理学） <後期>

連立1 次方程式の解法や行列式の計算方法などを復習した後、ベクトル空間におけるベクトルの１次独立性、基底、次元、１次写像とその表現行列、計量ベクトル空間の正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法、行列の固有値・固有ベクトル・対角化の概念と対角化可能判定法および対角化の手順などについて、演習を行う。

担当教員氏名

丸田 辰哉

科目ナンバリング

FLMAT1957-J2 (府大)

授業管轄部署

国際基幹教育機構（学部）

授業形態

演習

開講キャンパス

遠隔用

開講区分

集中講義

配当年次

1年 (府大)

注意: 配当年次は学部・学科によって異なる場合があるので、UNIPAで確認してください。

単位数

2単位 (府大)

注意: 実際の単位数は学部・学科によって異なる場合があるので、必ずUNIPAで確認してください。

到達目標

本授業の目的は、問題演習を通して、連立１次方程式の解法や基本行列と基本変形の関係、行列の階数の性質、行列式の種々の計算方法、および、ベクトル空間についての様々な概念や１次写像の表現行列、内積と正規直交基底、 直交補空間、 行列の固有値・固有空間・行列の対角化などの概念の習得を定着させることである。連立１次方程式の解法、行列式の計算、１次独立性の判定、ベクトル空間の基底・次元の計算、１次写像の表現行列、グラム・シュミットの直交化法による正規直交基底の構成、行列の固有値・固有空間の計算および対角化などの計算方法の習得と、計算方法の背後にある数学的原理や理論を理解することを目標とする。具体的には、以下の能力を身につけることを目標とする。 1.掃き出し法による連立１次方程式の解法を理解し、拡大係数行列に対する基本変形を用いて４元連立１次方程式を正しく解くことができる。（解がない場合、解がただ１つの場合、解にパラメータを含む場合も含む。） 2.行列の階数の概念を正しく理解し、具体的な行列の階数や行列の標準形を基本変形を用いて求められる。 3.掃き出し法による正則性判定と逆行列の計算の仕組みを理解し、(A|E)に対する基本変形を用いて正則性の判定と逆行列の計算を実行できる。 4.行列式の定義と基本的な性質を理解し、文字を含む行列式を正しく計算できる。 5.１次独立・１次従属の概念を理解し、具体的なベクトルの組について１次独立性を判定できる。 6.ベクトル空間の部分空間の概念について理解し、具体的に与えられたベクトル空間の部分集合が部分空間になっているかどうか判定できる。 7.有限個のベクトルで生成される部分空間の基底の求め方を理解し、有限個のベクトルで生成される部分空間の基底と次元を求められる。 8.斉次連立１次方程式の解空間の基底の求め方を理解し、斉次連立１次方程式の解空間の基底と次元を求められる。 9.１次写像の像・核の定義とその基底の求め方を理解し、具体的に与えられた１次写像の像や核の基底と次元を求められる。 10.表現行列の概念を理解し、与えられた基底に関して、１次写像の表現行列を求めることができる。 11.内積の定義と基本的性質を理解し、内積を含んだ計算を行うことができる。 12.グラム・シュミットの直交化法の手続きと仕組みを理解し、与えられたベクトルの組に対してグラム・シュミットの直交化法を適用し、正規直交系をつくることができる。 13.直交補空間の定義を理解し、与えられた部分空間の直交補空間を求めることができる。 14.固有値の概念を理解し、与えられた行列の固有多項式を計算して固有値を求めることができる。 15.固有空間の概念を理解し、与えられた行列の固有値に対し、固有空間の基底と次元を求めることができる。 16.対角化の概念を理解し、与えられた行列の対角化可能性を判定でき、対角化を実行できる。 17.直交行列による対角化の概念を理解し、実対称行列の直交行列による対角化を実行できる。

各授業回の説明

授業	授業内容	事前・事後の学習内容
第1回	全体のイントロ、連立１次方程式の解法	教科書3.1-3.5
第2回	行列の階数と標準形	教科書3.4-3.6
第3回	行列式の基本性質	教科書4.1-4.5
第4回	行列式の展開	教科書4.6
第5回	１次独立・１次従属	教科書5.2
第6回	部分空間の基底と次元	教科書5.1, 5.3
第7回	部分空間の和と共通部分	教科書5.4
第8回	１次写像の像の核	教科書6.1, 6.2
第9回	１次写像の表現行列	教科書6.3
第10回	ベクトル空間の内積と直交性	教科書7.1, 7.2
第11回	直交補空間	教科書7.4
第12回	正規直交基底とグラム・シュミットの直交化法	教科書7.3
第13回	行列の対角化、固有多項式と固有空間	教科書8.1-8.4
第14回	行列の対角化可能性判定	教科書8.4
第15回	実対称行列の対角化	教科書8.6

事前・事後学習の内容

授業の理解には予習・復習が不可欠です。線形代数Iや線形代数IIで習った内容を定着させるための演習を行うので、予習として各回の教科書の該当部分や演習書の例題を読んで、内容について復習して下さい。さらに、独力で読んで分からないところを明確にしてくることが望ましい。また、復習として、授業でやったところの教科書・ノートを読み返して内容をしっかり理解するよう努めるとともに、 授業内では解かなかった演習問題を解いてみて理解度をチェックして下さい。

成績評価方法

成績は、各回の演習（レポートの課題提出）の達成度により評価する。レポートの課題や提出期限は授業内で指定する。単位取得のためには、授業目標の項目1、2、3、4、7、9、11、13、14、15、16のうち8項目以上について、計算方法を正しく理解し、実行できることが必要である。(ただし、軽微のミスは許す。)

履修上の注意

詳しい授業情報については、随時更新される授業支援システムの「線形代数演習のページ」を見て下さい。

教科書

「理工系新課程線形代数---基礎から応用まで［改訂版］」石井・川添・高橋・山口著、培風館

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参考文献

「理工系新課程線形代数演習---解き方の手順と例題解説」川添・山口・吉富著、培風館 「教養の線形代数」村上正康・佐藤恒雄・野澤宗平・稲葉尚志著、培風館

オフィスアワー

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教員への連絡方法（メールアドレス等）

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その他

(関連科目)線形代数I, 線形代数Ⅱ